Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66594 / 46114
↖ ↑ ↗
← N 46.976504°
E  2.905884°		 ← 208.39 m → N 46.976504°
E  2.908631°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 46.974631°
E  2.905884°		 ← 208.40 m →
43 415 m²		 N 46.974631°
E  2.908631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508075714111328 y=0.351825714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508075714111328 × 217)
    floor (0.508075714111328 × 131072)
    floor (66594.5)     		tx = 66594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351825714111328 × 217)
    floor (0.351825714111328 × 131072)
    floor (46114.5)     		ty = 46114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66594 / 46114 ti = "17/66594/46114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66594/46114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66594 ÷ 217
    66594 ÷ 131072     		x = 0.508071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46114 ÷ 217
    46114 ÷ 131072     		y = 0.351821899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351821899414062 × 2 - 1) × π
    0.296356201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931030464420731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05071724} λ = 0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931030464420731))-π/2
    2×atan(2.53712224525479)-π/2
    2×1.19534550078192-π/2
    2.39069100156384-1.57079632675     		φ = 0.81989467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81989467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.976504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66594 KachelY 46114 0.05071724 0.81989467 2.905884 46.976504
    Oben rechts KachelX + 1 66595 KachelY 46114 0.05076518 0.81989467 2.908631 46.976504
    Unten links KachelX 66594 KachelY + 1 46115 0.05071724 0.81986197 2.905884 46.974631
    Unten rechts KachelX + 1 66595 KachelY + 1 46115 0.05076518 0.81986197 2.908631 46.974631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81989467-0.81986197) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81989467-0.81986197) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05071724-0.05076518) × cos(0.81989467) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.682298215093296 × 6371000     		do = 208.391437245563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05071724-0.05076518) × cos(0.81986197) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.682322120847235 × 6371000     		du = 208.39873867815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81989467)-sin(0.81986197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682298215093296-0.682322120847235)×R²
    abs(0.05076518-0.05071724)×2.39057539395127e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39057539395127e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39057539395127e-05×40589641000000     		ar = 43415.3029506927m²