Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66608 / 44016
↖ ↑ ↗
← N 50.764259°
E  2.944336°		 ← 193.15 m → N 50.764259°
E  2.947082°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 50.762522°
E  2.944336°		 ← 193.15 m →
37 310 m²		 N 50.762522°
E  2.947082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508182525634766 y=0.335819244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508182525634766 × 217)
    floor (0.508182525634766 × 131072)
    floor (66608.5)     		tx = 66608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335819244384766 × 217)
    floor (0.335819244384766 × 131072)
    floor (44016.5)     		ty = 44016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66608 / 44016 ti = "17/66608/44016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66608/44016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66608 ÷ 217
    66608 ÷ 131072     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44016 ÷ 217
    44016 ÷ 131072     		y = 0.3358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3358154296875 × 2 - 1) × π
    0.328369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03160207982361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03160207982361))-π/2
    2×atan(2.80555696236936)-π/2
    2×1.22839989744713-π/2
    2.45679979489427-1.57079632675     		φ = 0.88600347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88600347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.764259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66608 KachelY 44016 0.05138836 0.88600347 2.944336 50.764259
    Oben rechts KachelX + 1 66609 KachelY 44016 0.05143629 0.88600347 2.947082 50.764259
    Unten links KachelX 66608 KachelY + 1 44017 0.05138836 0.88597315 2.944336 50.762522
    Unten rechts KachelX + 1 66609 KachelY + 1 44017 0.05143629 0.88597315 2.947082 50.762522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88600347-0.88597315) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88600347-0.88597315) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05143629) × cos(0.88600347) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632512582300562 × 6371000     		do = 193.145326131848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05143629) × cos(0.88597315) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632536066368382 × 6371000     		du = 193.15249727447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88600347)-sin(0.88597315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632512582300562-0.632536066368382)×R²
    abs(0.05143629-0.05138836)×2.34840678199344e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34840678199344e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34840678199344e-05×40589641000000     		ar = 37310.3280459411m²