Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66626 / 44098
↖ ↑ ↗
← N 50.621588°
E  2.993774°		 ← 193.77 m → N 50.621588°
E  2.996521°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
N 50.619845°
E  2.993774°		 ← 193.78 m →
37 555 m²		 N 50.619845°
E  2.996521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508319854736328 y=0.336444854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508319854736328 × 217)
    floor (0.508319854736328 × 131072)
    floor (66626.5)     		tx = 66626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336444854736328 × 217)
    floor (0.336444854736328 × 131072)
    floor (44098.5)     		ty = 44098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66626 / 44098 ti = "17/66626/44098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66626/44098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66626 ÷ 217
    66626 ÷ 131072     		x = 0.508316040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44098 ÷ 217
    44098 ÷ 131072     		y = 0.336441040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508316040039062 × 2 - 1) × π
    0.016632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05225122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336441040039062 × 2 - 1) × π
    0.327117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02767125405476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05225122} λ = 0.05225122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02767125405476))-π/2
    2×atan(2.79455045327266)-π/2
    2×1.22715485597093-π/2
    2.45430971194186-1.57079632675     		φ = 0.88351339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05225122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.993774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88351339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.621588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66626 KachelY 44098 0.05225122 0.88351339 2.993774 50.621588
    Oben rechts KachelX + 1 66627 KachelY 44098 0.05229916 0.88351339 2.996521 50.621588
    Unten links KachelX 66626 KachelY + 1 44099 0.05225122 0.88348297 2.993774 50.619845
    Unten rechts KachelX + 1 66627 KachelY + 1 44099 0.05229916 0.88348297 2.996521 50.619845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88351339-0.88348297) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88351339-0.88348297) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05225122-0.05229916) × cos(0.88351339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.634439311035947 × 6371000     		do = 193.774096058229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05225122-0.05229916) × cos(0.88348297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.634462824571255 × 6371000     		du = 193.781277697151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88351339)-sin(0.88348297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634439311035947-0.634462824571255)×R²
    abs(0.05229916-0.05225122)×2.35135353072735e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35135353072735e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35135353072735e-05×40589641000000     		ar = 37555.2435059624m²