Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66656 / 46048
↖ ↑ ↗
← N 47.100045°
E  3.076172°		 ← 207.87 m → N 47.100045°
E  3.078918°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
N 47.098175°
E  3.076172°		 ← 207.87 m →
43 213 m²		 N 47.098175°
E  3.078918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508548736572266 y=0.351322174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508548736572266 × 217)
    floor (0.508548736572266 × 131072)
    floor (66656.5)     		tx = 66656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351322174072266 × 217)
    floor (0.351322174072266 × 131072)
    floor (46048.5)     		ty = 46048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66656 / 46048 ti = "17/66656/46048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66656/46048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66656 ÷ 217
    66656 ÷ 131072     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46048 ÷ 217
    46048 ÷ 131072     		y = 0.351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351318359375 × 2 - 1) × π
    0.29736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.934194299795654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934194299795654))-π/2
    2×atan(2.545161993879)-π/2
    2×1.19642359226197-π/2
    2.39284718452395-1.57079632675     		φ = 0.82205086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82205086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.100045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66656 KachelY 46048 0.05368933 0.82205086 3.076172 47.100045
    Oben rechts KachelX + 1 66657 KachelY 46048 0.05373726 0.82205086 3.078918 47.100045
    Unten links KachelX 66656 KachelY + 1 46049 0.05368933 0.82201823 3.076172 47.098175
    Unten rechts KachelX + 1 66657 KachelY + 1 46049 0.05373726 0.82201823 3.078918 47.098175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82205086-0.82201823) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dl = 207.885730000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82205086-0.82201823) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dr = 207.885730000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05373726) × cos(0.82205086) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.680720295882583 × 6371000     		do = 207.866131412913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05373726) × cos(0.82201823) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.680744198412356 × 6371000     		du = 207.873430337927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82205086)-sin(0.82201823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680720295882583-0.680744198412356)×R²
    abs(0.05373726-0.05368933)×2.39025297726903e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39025297726903e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39025297726903e-05×40589641000000     		ar = 43213.1611460926m²