Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66688 / 46208
↖ ↑ ↗
← N 46.800060°
E  3.164063°		 ← 209.08 m → N 46.800060°
E  3.166809°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
N 46.798179°
E  3.164063°		 ← 209.09 m →
43 718 m²		 N 46.798179°
E  3.166809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508792877197266 y=0.352542877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508792877197266 × 217)
    floor (0.508792877197266 × 131072)
    floor (66688.5)     		tx = 66688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352542877197266 × 217)
    floor (0.352542877197266 × 131072)
    floor (46208.5)     		ty = 46208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66688 / 46208 ti = "17/66688/46208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66688/46208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66688 ÷ 217
    66688 ÷ 131072     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46208 ÷ 217
    46208 ÷ 131072     		y = 0.3525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3525390625 × 2 - 1) × π
    0.294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.926524395856445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926524395856445))-π/2
    2×atan(2.52571551751115)-π/2
    2×1.19380572712614-π/2
    2.38761145425228-1.57079632675     		φ = 0.81681513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81681513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.800060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66688 KachelY 46208 0.05522331 0.81681513 3.164063 46.800060
    Oben rechts KachelX + 1 66689 KachelY 46208 0.05527125 0.81681513 3.166809 46.800060
    Unten links KachelX 66688 KachelY + 1 46209 0.05522331 0.81678231 3.164063 46.798179
    Unten rechts KachelX + 1 66689 KachelY + 1 46209 0.05527125 0.81678231 3.166809 46.798179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81681513-0.81678231) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000     		dl = 209.096219999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81681513-0.81678231) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000     		dr = 209.096219999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05527125) × cos(0.81681513) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.684546347752357 × 6371000     		do = 209.078074826575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05527125) × cos(0.81678231) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.684570272157392 × 6371000     		du = 209.085381955687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81681513)-sin(0.81678231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684546347752357-0.684570272157392)×R²
    abs(0.05527125-0.05522331)×2.39244050342924e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39244050342924e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39244050342924e-05×40589641000000     		ar = 43718.1990814414m²