Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 67 / 43
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E  8.437500°		 ← 197.927 km → N 50.736455°
E 11.250000°		 →
↑
201.703 km
↓
↑
201.703 km
↓
N 48.922499°
E  8.437500°		 ← 205.492 km →
40 688.7 km²		 N 48.922499°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52734375 y=0.33984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52734375 × 27)
    floor (0.52734375 × 128)
    floor (67.5)     		tx = 67
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33984375 × 27)
    floor (0.33984375 × 128)
    floor (43.5)     		ty = 43
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 67 / 43 ti = "7/67/43"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/67/43.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67 ÷ 27
    67 ÷ 128     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43 ÷ 27
    43 ÷ 128     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67 KachelY 43 0.14726216 0.88551819 8.437500 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 68 KachelY 43 0.19634954 0.88551819 11.250000 50.736455
    Unten links KachelX 67 KachelY + 1 44 0.14726216 0.85385869 8.437500 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 68 KachelY + 1 44 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.85385869) × R
    0.0316595 × 6371000     		dl = 201702.6745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.85385869) × R
    0.0316595 × 6371000     		dr = 201702.6745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.19634954) × cos(0.88551819) × R
    0.04908738 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 197926.789723534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.19634954) × cos(0.85385869) × R
    0.04908738 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 205492.147725856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.657079281492828)×R²
    abs(0.19634954-0.14726216)×0.0241909000193695×R²
    0.04908738×0.0241909000193695×6371000²
    0.04908738×0.0241909000193695×40589641000000     		ar = 40688737978.5361m²