Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67072 / 43520
↖ ↑ ↗
← N 51.618016°
E  4.218750°		 ← 189.60 m → N 51.618016°
E  4.221496°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 51.616311°
E  4.218750°		 ← 189.61 m →
35 949 m²		 N 51.616311°
E  4.221496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511722564697266 y=0.332035064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511722564697266 × 217)
    floor (0.511722564697266 × 131072)
    floor (67072.5)     		tx = 67072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332035064697266 × 217)
    floor (0.332035064697266 × 131072)
    floor (43520.5)     		ty = 43520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67072 / 43520 ti = "17/67072/43520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67072/43520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67072 ÷ 217
    67072 ÷ 131072     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43520 ÷ 217
    43520 ÷ 131072     		y = 0.33203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33203125 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05537878203516))-π/2
    2×atan(2.87306321255058)-π/2
    2×1.23585033445059-π/2
    2.47170066890119-1.57079632675     		φ = 0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67072 KachelY 43520 0.07363108 0.90090434 4.218750 51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 67073 KachelY 43520 0.07367901 0.90090434 4.221496 51.618016
    Unten links KachelX 67072 KachelY + 1 43521 0.07363108 0.90087458 4.218750 51.616311
    Unten rechts KachelX + 1 67073 KachelY + 1 43521 0.07367901 0.90087458 4.221496 51.616311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90090434-0.90087458) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90090434-0.90087458) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07367901) × cos(0.90090434) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 189.599687603789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07367901) × cos(0.90087458) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620924648577714 × 6371000     		du = 189.606811166734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90090434)-sin(0.90087458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.620924648577714)×R²
    abs(0.07367901-0.07363108)×2.33282538267821e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33282538267821e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33282538267821e-05×40589641000000     		ar = 35948.9581051277m²