Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67074 / 46594
↖ ↑ ↗
← N 46.069420°
E  4.224243°		 ← 211.90 m → N 46.069420°
E  4.226990°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
N 46.067514°
E  4.224243°		 ← 211.91 m →
44 902 m²		 N 46.067514°
E  4.226990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511737823486328 y=0.355487823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511737823486328 × 217)
    floor (0.511737823486328 × 131072)
    floor (67074.5)     		tx = 67074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355487823486328 × 217)
    floor (0.355487823486328 × 131072)
    floor (46594.5)     		ty = 46594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67074 / 46594 ti = "17/67074/46594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67074/46594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67074 ÷ 217
    67074 ÷ 131072     		x = 0.511734008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46594 ÷ 217
    46594 ÷ 131072     		y = 0.355484008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511734008789062 × 2 - 1) × π
    0.023468017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07372695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.355484008789062 × 2 - 1) × π
    0.289031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.908020752603104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07372695} λ = 0.07372695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908020752603104))-π/2
    2×atan(2.47941030733648)-π/2
    2×1.18742969229407-π/2
    2.37485938458815-1.57079632675     		φ = 0.80406306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07372695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.224243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80406306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.069420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67074 KachelY 46594 0.07372695 0.80406306 4.224243 46.069420
    Oben rechts KachelX + 1 67075 KachelY 46594 0.07377489 0.80406306 4.226990 46.069420
    Unten links KachelX 67074 KachelY + 1 46595 0.07372695 0.80402980 4.224243 46.067514
    Unten rechts KachelX + 1 67075 KachelY + 1 46595 0.07377489 0.80402980 4.226990 46.067514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80406306-0.80402980) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dl = 211.899460000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80406306-0.80402980) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dr = 211.899460000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07372695-0.07377489) × cos(0.80406306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.693786305759581 × 6371000     		do = 211.90019583847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07372695-0.07377489) × cos(0.80402980) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.693810258593335 × 6371000     		du = 211.907511650444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80406306)-sin(0.80402980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693786305759581-0.693810258593335)×R²
    abs(0.07377489-0.07372695)×2.3952833753893e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3952833753893e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3952833753893e-05×40589641000000     		ar = 44902.3121845748m²