Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67080 / 46600
↖ ↑ ↗
← N 46.057985°
E  4.240722°		 ← 211.94 m → N 46.057985°
E  4.243469°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
N 46.056079°
E  4.240722°		 ← 211.95 m →
44 925 m²		 N 46.056079°
E  4.243469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511783599853516 y=0.355533599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511783599853516 × 217)
    floor (0.511783599853516 × 131072)
    floor (67080.5)     		tx = 67080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355533599853516 × 217)
    floor (0.355533599853516 × 131072)
    floor (46600.5)     		ty = 46600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67080 / 46600 ti = "17/67080/46600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67080/46600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67080 ÷ 217
    67080 ÷ 131072     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46600 ÷ 217
    46600 ÷ 131072     		y = 0.35552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35552978515625 × 2 - 1) × π
    0.2889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.907733131205383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907733131205383))-π/2
    2×atan(2.47869727842446)-π/2
    2×1.18732990806675-π/2
    2.3746598161335-1.57079632675     		φ = 0.80386349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80386349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.057985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67080 KachelY 46600 0.07401457 0.80386349 4.240722 46.057985
    Oben rechts KachelX + 1 67081 KachelY 46600 0.07406251 0.80386349 4.243469 46.057985
    Unten links KachelX 67080 KachelY + 1 46601 0.07401457 0.80383022 4.240722 46.056079
    Unten rechts KachelX + 1 67081 KachelY + 1 46601 0.07406251 0.80383022 4.243469 46.056079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80386349-0.80383022) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80386349-0.80383022) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(0.80386349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.693930018449317 × 6371000     		do = 211.94408939308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(0.80383022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.693953973877564 × 6371000     		du = 211.951405997479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80386349)-sin(0.80383022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693930018449317-0.693953973877564)×R²
    abs(0.07406251-0.07401457)×2.39554282468468e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39554282468468e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39554282468468e-05×40589641000000     		ar = 44925.1164800389m²