Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67136 / 46656
↖ ↑ ↗
← N 45.951150°
E  4.394531°		 ← 212.35 m → N 45.951150°
E  4.397278°		 →
↑
212.35 m
↓
↑
212.35 m
↓
N 45.949240°
E  4.394531°		 ← 212.36 m →
45 093 m²		 N 45.949240°
E  4.397278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512210845947266 y=0.355960845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512210845947266 × 217)
    floor (0.512210845947266 × 131072)
    floor (67136.5)     		tx = 67136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355960845947266 × 217)
    floor (0.355960845947266 × 131072)
    floor (46656.5)     		ty = 46656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67136 / 46656 ti = "17/67136/46656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67136/46656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67136 ÷ 217
    67136 ÷ 131072     		x = 0.51220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46656 ÷ 217
    46656 ÷ 131072     		y = 0.35595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35595703125 × 2 - 1) × π
    0.2880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.90504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07669904} λ = 0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.90504866482666))-π/2
    2×atan(2.47205222212317)-π/2
    2×1.18639759194322-π/2
    2.37279518388644-1.57079632675     		φ = 0.80199886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80199886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.951150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67136 KachelY 46656 0.07669904 0.80199886 4.394531 45.951150
    Oben rechts KachelX + 1 67137 KachelY 46656 0.07674698 0.80199886 4.397278 45.951150
    Unten links KachelX 67136 KachelY + 1 46657 0.07669904 0.80196553 4.394531 45.949240
    Unten rechts KachelX + 1 67137 KachelY + 1 46657 0.07674698 0.80196553 4.397278 45.949240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80199886-0.80196553) × R
    3.33299999999426e-05 × 6371000     		dl = 212.345429999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80199886-0.80196553) × R
    3.33299999999426e-05 × 6371000     		dr = 212.345429999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07669904-0.07674698) × cos(0.80199886) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.695271424081233 × 6371000     		do = 212.35378920091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07669904-0.07674698) × cos(0.80196553) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.695295379541755 × 6371000     		du = 212.361105815167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80199886)-sin(0.80196553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695271424081233-0.695295379541755)×R²
    abs(0.07674698-0.07669904)×2.39554605222514e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39554605222514e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39554605222514e-05×40589641000000     		ar = 45093.1335087833m²