Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67200 / 44672
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E  4.570312°		 ← 197.91 m → N 49.610710°
E  4.573059°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
N 49.608930°
E  4.570312°		 ← 197.92 m →
39 164 m²		 N 49.608930°
E  4.573059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512699127197266 y=0.340824127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512699127197266 × 217)
    floor (0.512699127197266 × 131072)
    floor (67200.5)     		tx = 67200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340824127197266 × 217)
    floor (0.340824127197266 × 131072)
    floor (44672.5)     		ty = 44672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67200 / 44672 ti = "17/67200/44672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67200/44672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67200 ÷ 217
    67200 ÷ 131072     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44672 ÷ 217
    44672 ÷ 131072     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67200 KachelY 44672 0.07976700 0.86587023 4.570312 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 67201 KachelY 44672 0.07981494 0.86587023 4.573059 49.610710
    Unten links KachelX 67200 KachelY + 1 44673 0.07976700 0.86583917 4.570312 49.608930
    Unten rechts KachelX + 1 67201 KachelY + 1 44673 0.07981494 0.86583917 4.573059 49.608930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86583917) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86583917) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.07981494) × cos(0.86587023) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 197.909020339349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.07981494) × cos(0.86583917) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.64800119906095 × 6371000     		du = 197.916245744063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86583917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.64800119906095)×R²
    abs(0.07981494-0.07976700)×2.36568296883011e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36568296883011e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36568296883011e-05×40589641000000     		ar = 39163.5970247481m²