Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67588 / 43012
↖ ↑ ↗
← N 52.476089°
E  5.635986°		 ← 185.99 m → N 52.476089°
E  5.638733°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
N 52.474416°
E  5.635986°		 ← 186 m →
34 602 m²		 N 52.474416°
E  5.638733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515659332275391 y=0.328159332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515659332275391 × 217)
    floor (0.515659332275391 × 131072)
    floor (67588.5)     		tx = 67588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328159332275391 × 217)
    floor (0.328159332275391 × 131072)
    floor (43012.5)     		ty = 43012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67588 / 43012 ti = "17/67588/43012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67588/43012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67588 ÷ 217
    67588 ÷ 131072     		x = 0.515655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43012 ÷ 217
    43012 ÷ 131072     		y = 0.328155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515655517578125 × 2 - 1) × π
    0.03131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09836652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328155517578125 × 2 - 1) × π
    0.34368896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07973072704214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09836652} λ = 0.09836652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07973072704214))-π/2
    2×atan(2.94388673523959)-π/2
    2×1.24333842955772-π/2
    2.48667685911544-1.57079632675     		φ = 0.91588053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09836652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91588053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.476089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67588 KachelY 43012 0.09836652 0.91588053 5.635986 52.476089
    Oben rechts KachelX + 1 67589 KachelY 43012 0.09841445 0.91588053 5.638733 52.476089
    Unten links KachelX 67588 KachelY + 1 43013 0.09836652 0.91585133 5.635986 52.474416
    Unten rechts KachelX + 1 67589 KachelY + 1 43013 0.09841445 0.91585133 5.638733 52.474416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91588053-0.91585133) × R
    2.92000000000625e-05 × 6371000     		dl = 186.033200000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91588053-0.91585133) × R
    2.92000000000625e-05 × 6371000     		dr = 186.033200000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09836652-0.09841445) × cos(0.91588053) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.609092463992623 × 6371000     		do = 185.993711262495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09836652-0.09841445) × cos(0.91585133) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.60911562223013 × 6371000     		du = 186.000782908912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91588053)-sin(0.91585133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609092463992623-0.60911562223013)×R²
    abs(0.09841445-0.09836652)×2.31582375072037e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.31582375072037e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.31582375072037e-05×40589641000000     		ar = 34601.6630689983m²