Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67842 / 43266
↖ ↑ ↗
← N 52.049112°
E  6.333618°		 ← 187.83 m → N 52.049112°
E  6.336365°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
N 52.047423°
E  6.333618°		 ← 187.84 m →
35 279 m²		 N 52.047423°
E  6.336365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517597198486328 y=0.330097198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517597198486328 × 217)
    floor (0.517597198486328 × 131072)
    floor (67842.5)     		tx = 67842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330097198486328 × 217)
    floor (0.330097198486328 × 131072)
    floor (43266.5)     		ty = 43266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67842 / 43266 ti = "17/67842/43266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67842/43266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67842 ÷ 217
    67842 ÷ 131072     		x = 0.517593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43266 ÷ 217
    43266 ÷ 131072     		y = 0.330093383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517593383789062 × 2 - 1) × π
    0.035186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11054249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330093383789062 × 2 - 1) × π
    0.339813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06755475453865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11054249} λ = 0.11054249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06755475453865))-π/2
    2×atan(2.9082593902423)-π/2
    2×1.23961235532505-π/2
    2.47922471065009-1.57079632675     		φ = 0.90842838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11054249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.333618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90842838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.049112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67842 KachelY 43266 0.11054249 0.90842838 6.333618 52.049112
    Oben rechts KachelX + 1 67843 KachelY 43266 0.11059043 0.90842838 6.336365 52.049112
    Unten links KachelX 67842 KachelY + 1 43267 0.11054249 0.90839890 6.333618 52.047423
    Unten rechts KachelX + 1 67843 KachelY + 1 43267 0.11059043 0.90839890 6.336365 52.047423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90842838-0.90839890) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90842838-0.90839890) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11054249-0.11059043) × cos(0.90842838) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.61498579087279 × 6371000     		do = 187.832490266847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11054249-0.11059043) × cos(0.90839890) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.615009036711394 × 6371000     		du = 187.839590144305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90842838)-sin(0.90839890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61498579087279-0.615009036711394)×R²
    abs(0.11059043-0.11054249)×2.32458386036916e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.32458386036916e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.32458386036916e-05×40589641000000     		ar = 35278.8165928221m²