Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67904 / 43839
↖ ↑ ↗
← N 51.070743°
E  6.503906°		 ← 191.92 m → N 51.070743°
E  6.506653°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 51.069017°
E  6.503906°		 ← 191.92 m →
36 829 m²		 N 51.069017°
E  6.506653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518070220947266 y=0.334468841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518070220947266 × 217)
    floor (0.518070220947266 × 131072)
    floor (67904.5)     		tx = 67904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334468841552734 × 217)
    floor (0.334468841552734 × 131072)
    floor (43839.5)     		ty = 43839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67904 / 43839 ti = "17/67904/43839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67904/43839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67904 ÷ 217
    67904 ÷ 131072     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43839 ÷ 217
    43839 ÷ 131072     		y = 0.334465026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334465026855469 × 2 - 1) × π
    0.331069946289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.04008691105636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04008691105636))-π/2
    2×atan(2.82946291527654)-π/2
    2×1.23107446772605-π/2
    2.4621489354521-1.57079632675     		φ = 0.89135261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89135261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.070743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67904 KachelY 43839 0.11351458 0.89135261 6.503906 51.070743
    Oben rechts KachelX + 1 67905 KachelY 43839 0.11356252 0.89135261 6.506653 51.070743
    Unten links KachelX 67904 KachelY + 1 43840 0.11351458 0.89132249 6.503906 51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 67905 KachelY + 1 43840 0.11356252 0.89132249 6.506653 51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89135261-0.89132249) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89135261-0.89132249) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11356252) × cos(0.89135261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628360376106276 × 6371000     		do = 191.917432858923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11356252) × cos(0.89132249) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 191.924589209176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89135261)-sin(0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628360376106276-0.628383806843492)×R²
    abs(0.11356252-0.11351458)×2.34307372165565e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34307372165565e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34307372165565e-05×40589641000000     		ar = 36828.5902930886m²