Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67968 / 43392
↖ ↑ ↗
← N 51.835778°
E  6.679688°		 ← 188.73 m → N 51.835778°
E  6.682434°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 51.834081°
E  6.679688°		 ← 188.74 m →
35 615 m²		 N 51.834081°
E  6.682434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518558502197266 y=0.331058502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518558502197266 × 217)
    floor (0.518558502197266 × 131072)
    floor (67968.5)     		tx = 67968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331058502197266 × 217)
    floor (0.331058502197266 × 131072)
    floor (43392.5)     		ty = 43392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67968 / 43392 ti = "17/67968/43392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67968/43392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67968 ÷ 217
    67968 ÷ 131072     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43392 ÷ 217
    43392 ÷ 131072     		y = 0.3310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06151470518652))-π/2
    2×atan(2.89074630319445)-π/2
    2×1.23775065741965-π/2
    2.47550131483931-1.57079632675     		φ = 0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67968 KachelY 43392 0.11658254 0.90470499 6.679688 51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 67969 KachelY 43392 0.11663048 0.90470499 6.682434 51.835778
    Unten links KachelX 67968 KachelY + 1 43393 0.11658254 0.90467537 6.679688 51.834081
    Unten rechts KachelX + 1 67969 KachelY + 1 43393 0.11663048 0.90467537 6.682434 51.834081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90470499-0.90467537) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dl = 188.709020000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90470499-0.90467537) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dr = 188.709020000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11663048) × cos(0.90470499) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 188.727926902941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11663048) × cos(0.90467537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.617940844579685 × 6371000     		du = 188.735039731961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90470499)-sin(0.90467537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.617940844579685)×R²
    abs(0.11663048-0.11658254)×2.32882435518e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32882435518e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32882435518e-05×40589641000000     		ar = 35615.3332626714m²