Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68028 / 43796
↖ ↑ ↗
← N 51.144894°
E  6.844482°		 ← 191.61 m → N 51.144894°
E  6.847229°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
N 51.143171°
E  6.844482°		 ← 191.62 m →
36 709 m²		 N 51.143171°
E  6.847229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519016265869141 y=0.334140777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519016265869141 × 217)
    floor (0.519016265869141 × 131072)
    floor (68028.5)     		tx = 68028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334140777587891 × 217)
    floor (0.334140777587891 × 131072)
    floor (43796.5)     		ty = 43796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68028 / 43796 ti = "17/68028/43796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68028/43796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68028 ÷ 217
    68028 ÷ 131072     		x = 0.519012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43796 ÷ 217
    43796 ÷ 131072     		y = 0.334136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519012451171875 × 2 - 1) × π
    0.03802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11945875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334136962890625 × 2 - 1) × π
    0.33172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04214819774002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11945875} λ = 0.11945875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04214819774002))-π/2
    2×atan(2.83530126469446)-π/2
    2×1.23172156402925-π/2
    2.46344312805849-1.57079632675     		φ = 0.89264680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11945875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89264680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.144894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68028 KachelY 43796 0.11945875 0.89264680 6.844482 51.144894
    Oben rechts KachelX + 1 68029 KachelY 43796 0.11950669 0.89264680 6.847229 51.144894
    Unten links KachelX 68028 KachelY + 1 43797 0.11945875 0.89261673 6.844482 51.143171
    Unten rechts KachelX + 1 68029 KachelY + 1 43797 0.11950669 0.89261673 6.847229 51.143171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89264680-0.89261673) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89264680-0.89261673) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11945875-0.11950669) × cos(0.89264680) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627353070786291 × 6371000     		do = 191.60977588616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11945875-0.11950669) × cos(0.89261673) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627376487062649 × 6371000     		du = 191.616927819695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89264680)-sin(0.89261673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627353070786291-0.627376487062649)×R²
    abs(0.11950669-0.11945875)×2.34162763580459e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34162763580459e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34162763580459e-05×40589641000000     		ar = 36708.513748937m²