Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68038 / 43798
↖ ↑ ↗
← N 51.141448°
E  6.871948°		 ← 191.62 m → N 51.141448°
E  6.874695°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
N 51.139725°
E  6.871948°		 ← 191.63 m →
36 711 m²		 N 51.139725°
E  6.874695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519092559814453 y=0.334156036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519092559814453 × 217)
    floor (0.519092559814453 × 131072)
    floor (68038.5)     		tx = 68038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334156036376953 × 217)
    floor (0.334156036376953 × 131072)
    floor (43798.5)     		ty = 43798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68038 / 43798 ti = "17/68038/43798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68038/43798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68038 ÷ 217
    68038 ÷ 131072     		x = 0.519088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43798 ÷ 217
    43798 ÷ 131072     		y = 0.334152221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519088745117188 × 2 - 1) × π
    0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334152221679688 × 2 - 1) × π
    0.331695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04205232394078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11993812} λ = 0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04205232394078))-π/2
    2×atan(2.83502944662055)-π/2
    2×1.23169148954546-π/2
    2.46338297909092-1.57079632675     		φ = 0.89258665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89258665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.141448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68038 KachelY 43798 0.11993812 0.89258665 6.871948 51.141448
    Oben rechts KachelX + 1 68039 KachelY 43798 0.11998606 0.89258665 6.874695 51.141448
    Unten links KachelX 68038 KachelY + 1 43799 0.11993812 0.89255658 6.871948 51.139725
    Unten rechts KachelX + 1 68039 KachelY + 1 43799 0.11998606 0.89255658 6.874695 51.139725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89258665-0.89255658) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89258665-0.89255658) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(0.89258665) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627399910558702 × 6371000     		do = 191.624081958366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(0.89255658) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627423325700296 × 6371000     		du = 191.631233545315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89258665)-sin(0.89255658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627399910558702-0.627423325700296)×R²
    abs(0.11998606-0.11993812)×2.34151415944295e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.34151415944295e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.34151415944295e-05×40589641000000     		ar = 36711.2544152072m²