Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68040 / 43768
↖ ↑ ↗
← N 51.193116°
E  6.877442°		 ← 191.37 m → N 51.193116°
E  6.880188°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 51.191394°
E  6.877442°		 ← 191.38 m →
36 638 m²		 N 51.191394°
E  6.880188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519107818603516 y=0.333927154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519107818603516 × 217)
    floor (0.519107818603516 × 131072)
    floor (68040.5)     		tx = 68040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333927154541016 × 217)
    floor (0.333927154541016 × 131072)
    floor (43768.5)     		ty = 43768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68040 / 43768 ti = "17/68040/43768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68040/43768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68040 ÷ 217
    68040 ÷ 131072     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43768 ÷ 217
    43768 ÷ 131072     		y = 0.33392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33392333984375 × 2 - 1) × π
    0.3321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04349043092938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04349043092938))-π/2
    2×atan(2.83910945532196)-π/2
    2×1.23214237107409-π/2
    2.46428474214818-1.57079632675     		φ = 0.89348842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89348842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.193116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68040 KachelY 43768 0.12003400 0.89348842 6.877442 51.193116
    Oben rechts KachelX + 1 68041 KachelY 43768 0.12008193 0.89348842 6.880188 51.193116
    Unten links KachelX 68040 KachelY + 1 43769 0.12003400 0.89345837 6.877442 51.191394
    Unten rechts KachelX + 1 68041 KachelY + 1 43769 0.12008193 0.89345837 6.880188 51.191394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89348842-0.89345837) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89348842-0.89345837) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12008193) × cos(0.89348842) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626697449769167 × 6371000     		do = 191.369605457342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12008193) × cos(0.89345837) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626720866329396 × 6371000     		du = 191.376755985709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89348842)-sin(0.89345837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626697449769167-0.626720866329396)×R²
    abs(0.12008193-0.12003400)×2.34165602289726e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34165602289726e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34165602289726e-05×40589641000000     		ar = 36638.1179608986m²