Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68055 / 43785
↖ ↑ ↗
← N 51.163844°
E  6.918640°		 ← 191.53 m → N 51.163844°
E  6.921387°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
N 51.162122°
E  6.918640°		 ← 191.54 m →
36 681 m²		 N 51.162122°
E  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519222259521484 y=0.334056854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519222259521484 × 217)
    floor (0.519222259521484 × 131072)
    floor (68055.5)     		tx = 68055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334056854248047 × 217)
    floor (0.334056854248047 × 131072)
    floor (43785.5)     		ty = 43785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68055 / 43785 ti = "17/68055/43785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68055/43785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68055 ÷ 217
    68055 ÷ 131072     		x = 0.519218444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43785 ÷ 217
    43785 ÷ 131072     		y = 0.334053039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519218444824219 × 2 - 1) × π
    0.0384368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12075305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334053039550781 × 2 - 1) × π
    0.331893920898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.04267550363584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12075305} λ = 0.12075305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04267550363584))-π/2
    2×atan(2.83679673001695)-π/2
    2×1.23188693355717-π/2
    2.46377386711434-1.57079632675     		φ = 0.89297754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12075305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.918640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89297754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.163844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68055 KachelY 43785 0.12075305 0.89297754 6.918640 51.163844
    Oben rechts KachelX + 1 68056 KachelY 43785 0.12080099 0.89297754 6.921387 51.163844
    Unten links KachelX 68055 KachelY + 1 43786 0.12075305 0.89294748 6.918640 51.162122
    Unten rechts KachelX + 1 68056 KachelY + 1 43786 0.12080099 0.89294748 6.921387 51.162122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89297754-0.89294748) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dl = 191.512259999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89297754-0.89294748) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dr = 191.512259999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12075305-0.12080099) × cos(0.89297754) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627095477680405 × 6371000     		do = 191.531100321177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12075305-0.12080099) × cos(0.89294748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62711889240561 × 6371000     		du = 191.538251780949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89297754)-sin(0.89294748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627095477680405-0.62711889240561)×R²
    abs(0.12080099-0.12075305)×2.34147252051731e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34147252051731e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34147252051731e-05×40589641000000     		ar = 36681.2386814888m²