Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68066 / 43874
↖ ↑ ↗
← N 51.010298°
E  6.948853°		 ← 192.13 m → N 51.010298°
E  6.951599°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 51.008570°
E  6.948853°		 ← 192.14 m →
36 918 m²		 N 51.008570°
E  6.951599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519306182861328 y=0.334735870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519306182861328 × 217)
    floor (0.519306182861328 × 131072)
    floor (68066.5)     		tx = 68066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334735870361328 × 217)
    floor (0.334735870361328 × 131072)
    floor (43874.5)     		ty = 43874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68066 / 43874 ti = "17/68066/43874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68066/43874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68066 ÷ 217
    68066 ÷ 131072     		x = 0.519302368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43874 ÷ 217
    43874 ÷ 131072     		y = 0.334732055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519302368164062 × 2 - 1) × π
    0.038604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12128036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334732055664062 × 2 - 1) × π
    0.330535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03840911956966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12128036} λ = 0.12128036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03840911956966))-π/2
    2×atan(2.82471964670585)-π/2
    2×1.23054699482641-π/2
    2.46109398965281-1.57079632675     		φ = 0.89029766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12128036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.948853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89029766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.010298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68066 KachelY 43874 0.12128036 0.89029766 6.948853 51.010298
    Oben rechts KachelX + 1 68067 KachelY 43874 0.12132829 0.89029766 6.951599 51.010298
    Unten links KachelX 68066 KachelY + 1 43875 0.12128036 0.89026750 6.948853 51.008570
    Unten rechts KachelX + 1 68067 KachelY + 1 43875 0.12132829 0.89026750 6.951599 51.008570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89029766-0.89026750) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89029766-0.89026750) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12128036-0.12132829) × cos(0.89029766) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.629180695517327 × 6371000     		do = 192.127894419989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12128036-0.12132829) × cos(0.89026750) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.629204137364531 × 6371000     		du = 192.135052670038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89029766)-sin(0.89026750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629180695517327-0.629204137364531)×R²
    abs(0.12132829-0.12128036)×2.344184720382e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.344184720382e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.344184720382e-05×40589641000000     		ar = 36917.9396803445m²