Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68100 / 42500
↖ ↑ ↗
← N 53.324312°
E  7.042236°		 ← 182.43 m → N 53.324312°
E  7.044983°		 →
↑
182.47 m
↓
↑
182.47 m
↓
N 53.322671°
E  7.042236°		 ← 182.43 m →
33 287 m²		 N 53.322671°
E  7.044983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519565582275391 y=0.324253082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519565582275391 × 217)
    floor (0.519565582275391 × 131072)
    floor (68100.5)     		tx = 68100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324253082275391 × 217)
    floor (0.324253082275391 × 131072)
    floor (42500.5)     		ty = 42500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68100 / 42500 ti = "17/68100/42500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68100/42500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68100 ÷ 217
    68100 ÷ 131072     		x = 0.519561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42500 ÷ 217
    42500 ÷ 131072     		y = 0.324249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519561767578125 × 2 - 1) × π
    0.03912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12291021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324249267578125 × 2 - 1) × π
    0.35150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10427441964761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12291021} λ = 0.12291021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10427441964761))-π/2
    2×atan(3.01703457342117)-π/2
    2×1.25074056707809-π/2
    2.50148113415617-1.57079632675     		φ = 0.93068481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12291021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93068481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.324312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68100 KachelY 42500 0.12291021 0.93068481 7.042236 53.324312
    Oben rechts KachelX + 1 68101 KachelY 42500 0.12295815 0.93068481 7.044983 53.324312
    Unten links KachelX 68100 KachelY + 1 42501 0.12291021 0.93065617 7.042236 53.322671
    Unten rechts KachelX + 1 68101 KachelY + 1 42501 0.12295815 0.93065617 7.044983 53.322671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93068481-0.93065617) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dl = 182.465440000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93068481-0.93065617) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dr = 182.465440000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12291021-0.12295815) × cos(0.93068481) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597284884796966 × 6371000     		do = 182.426177929914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12291021-0.12295815) × cos(0.93065617) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597307854667017 × 6371000     		du = 182.433193519472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93068481)-sin(0.93065617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597284884796966-0.597307854667017)×R²
    abs(0.12295815-0.12291021)×2.29698700512371e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.29698700512371e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.29698700512371e-05×40589641000000     		ar = 33287.1128771718m²