Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68130 / 43746
↖ ↑ ↗
← N 51.230968°
E  7.124634°		 ← 191.21 m → N 51.230968°
E  7.127380°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 51.229248°
E  7.124634°		 ← 191.22 m →
36 571 m²		 N 51.229248°
E  7.127380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519794464111328 y=0.333759307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519794464111328 × 217)
    floor (0.519794464111328 × 131072)
    floor (68130.5)     		tx = 68130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333759307861328 × 217)
    floor (0.333759307861328 × 131072)
    floor (43746.5)     		ty = 43746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68130 / 43746 ti = "17/68130/43746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68130/43746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68130 ÷ 217
    68130 ÷ 131072     		x = 0.519790649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43746 ÷ 217
    43746 ÷ 131072     		y = 0.333755493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519790649414062 × 2 - 1) × π
    0.039581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12434832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333755493164062 × 2 - 1) × π
    0.332489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04454504272102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12434832} λ = 0.12434832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04454504272102))-π/2
    2×atan(2.8421051930238)-π/2
    2×1.23247269655954-π/2
    2.46494539311909-1.57079632675     		φ = 0.89414907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12434832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.124634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89414907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.230968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68130 KachelY 43746 0.12434832 0.89414907 7.124634 51.230968
    Oben rechts KachelX + 1 68131 KachelY 43746 0.12439625 0.89414907 7.127380 51.230968
    Unten links KachelX 68130 KachelY + 1 43747 0.12434832 0.89411905 7.124634 51.229248
    Unten rechts KachelX + 1 68131 KachelY + 1 43747 0.12439625 0.89411905 7.127380 51.229248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89414907-0.89411905) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dl = 191.25741999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89414907-0.89411905) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dr = 191.25741999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12434832-0.12439625) × cos(0.89414907) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626182493161014 × 6371000     		do = 191.212357262115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12434832-0.12439625) × cos(0.89411905) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626205898768165 × 6371000     		du = 191.219504445828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89414907)-sin(0.89411905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626182493161014-0.626205898768165)×R²
    abs(0.12439625-0.12434832)×2.34056071501954e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34056071501954e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34056071501954e-05×40589641000000     		ar = 36571.4656007578m²