Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68144 / 43888
↖ ↑ ↗
← N 50.986099°
E  7.163086°		 ← 192.27 m → N 50.986099°
E  7.165832°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
N 50.984370°
E  7.163086°		 ← 192.28 m →
36 969 m²		 N 50.984370°
E  7.165832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519901275634766 y=0.334842681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519901275634766 × 217)
    floor (0.519901275634766 × 131072)
    floor (68144.5)     		tx = 68144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334842681884766 × 217)
    floor (0.334842681884766 × 131072)
    floor (43888.5)     		ty = 43888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68144 / 43888 ti = "17/68144/43888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68144/43888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68144 ÷ 217
    68144 ÷ 131072     		x = 0.5198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43888 ÷ 217
    43888 ÷ 131072     		y = 0.3348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5198974609375 × 2 - 1) × π
    0.039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12501943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3348388671875 × 2 - 1) × π
    0.330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03773800297498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12501943} λ = 0.12501943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03773800297498))-π/2
    2×atan(2.82282456645666)-π/2
    2×1.23033581295576-π/2
    2.46067162591151-1.57079632675     		φ = 0.88987530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12501943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88987530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.986099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68144 KachelY 43888 0.12501943 0.88987530 7.163086 50.986099
    Oben rechts KachelX + 1 68145 KachelY 43888 0.12506737 0.88987530 7.165832 50.986099
    Unten links KachelX 68144 KachelY + 1 43889 0.12501943 0.88984512 7.163086 50.984370
    Unten rechts KachelX + 1 68145 KachelY + 1 43889 0.12506737 0.88984512 7.165832 50.984370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88987530-0.88984512) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88987530-0.88984512) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12501943-0.12506737) × cos(0.88987530) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629508922526655 × 6371000     		do = 192.268228499403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12501943-0.12506737) × cos(0.88984512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629532371896363 × 6371000     		du = 192.275390540499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88987530)-sin(0.88984512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629508922526655-0.629532371896363)×R²
    abs(0.12506737-0.12501943)×2.34493697077731e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34493697077731e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34493697077731e-05×40589641000000     		ar = 36969.4044220735m²