Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68162 / 43842
↖ ↑ ↗
← N 51.065565°
E  7.212525°		 ← 191.94 m → N 51.065565°
E  7.215271°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.063838°
E  7.212525°		 ← 191.95 m →
36 845 m²		 N 51.063838°
E  7.215271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520038604736328 y=0.334491729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520038604736328 × 217)
    floor (0.520038604736328 × 131072)
    floor (68162.5)     		tx = 68162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334491729736328 × 217)
    floor (0.334491729736328 × 131072)
    floor (43842.5)     		ty = 43842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68162 / 43842 ti = "17/68162/43842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68162/43842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68162 ÷ 217
    68162 ÷ 131072     		x = 0.520034790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43842 ÷ 217
    43842 ÷ 131072     		y = 0.334487915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520034790039062 × 2 - 1) × π
    0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334487915039062 × 2 - 1) × π
    0.331024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0399431003575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12588230} λ = 0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0399431003575))-π/2
    2×atan(2.82905603749469)-π/2
    2×1.23102928272617-π/2
    2.46205856545234-1.57079632675     		φ = 0.89126224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89126224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.065565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68162 KachelY 43842 0.12588230 0.89126224 7.212525 51.065565
    Oben rechts KachelX + 1 68163 KachelY 43842 0.12593024 0.89126224 7.215271 51.065565
    Unten links KachelX 68162 KachelY + 1 43843 0.12588230 0.89123211 7.212525 51.063838
    Unten rechts KachelX + 1 68163 KachelY + 1 43843 0.12593024 0.89123211 7.215271 51.063838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89126224-0.89123211) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89126224-0.89123211) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12588230-0.12593024) × cos(0.89126224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628430674386324 × 6371000     		do = 191.938903763127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12588230-0.12593024) × cos(0.89123211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628454111191517 × 6371000     		du = 191.946061966697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89126224)-sin(0.89123211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628430674386324-0.628454111191517)×R²
    abs(0.12593024-0.12588230)×2.34368051935663e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34368051935663e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34368051935663e-05×40589641000000     		ar = 36844.9392753542m²