Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68164 / 43844
↖ ↑ ↗
← N 51.062113°
E  7.218017°		 ← 191.95 m → N 51.062113°
E  7.220764°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.060386°
E  7.218017°		 ← 191.96 m →
36 848 m²		 N 51.060386°
E  7.220764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520053863525391 y=0.334506988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520053863525391 × 217)
    floor (0.520053863525391 × 131072)
    floor (68164.5)     		tx = 68164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334506988525391 × 217)
    floor (0.334506988525391 × 131072)
    floor (43844.5)     		ty = 43844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68164 / 43844 ti = "17/68164/43844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68164/43844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68164 ÷ 217
    68164 ÷ 131072     		x = 0.520050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43844 ÷ 217
    43844 ÷ 131072     		y = 0.334503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520050048828125 × 2 - 1) × π
    0.04010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12597817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334503173828125 × 2 - 1) × π
    0.33099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03984722655826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12597817} λ = 0.12597817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03984722655826))-π/2
    2×atan(2.82878481814573)-π/2
    2×1.23099915658464-π/2
    2.46199831316928-1.57079632675     		φ = 0.89120199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12597817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.218017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89120199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.062113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68164 KachelY 43844 0.12597817 0.89120199 7.218017 51.062113
    Oben rechts KachelX + 1 68165 KachelY 43844 0.12602611 0.89120199 7.220764 51.062113
    Unten links KachelX 68164 KachelY + 1 43845 0.12597817 0.89117186 7.218017 51.060386
    Unten rechts KachelX + 1 68165 KachelY + 1 43845 0.12602611 0.89117186 7.220764 51.060386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89120199-0.89117186) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89120199-0.89117186) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12597817-0.12602611) × cos(0.89120199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628477539647912 × 6371000     		do = 191.953217620328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12597817-0.12602611) × cos(0.89117186) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628500975312232 × 6371000     		du = 191.960375475445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89120199)-sin(0.89117186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628477539647912-0.628500975312232)×R²
    abs(0.12602611-0.12597817)×2.34356643191713e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34356643191713e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34356643191713e-05×40589641000000     		ar = 36847.6869044115m²