Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68608 / 48128
↖ ↑ ↗
← N 43.068888°
E  8.437500°		 ← 223.08 m → N 43.068888°
E  8.440246°		 →
↑
223.11 m
↓
↑
223.11 m
↓
N 43.066881°
E  8.437500°		 ← 223.08 m →
49 772 m²		 N 43.066881°
E  8.440246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523441314697266 y=0.367191314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523441314697266 × 217)
    floor (0.523441314697266 × 131072)
    floor (68608.5)     		tx = 68608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367191314697266 × 217)
    floor (0.367191314697266 × 131072)
    floor (48128.5)     		ty = 48128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68608 / 48128 ti = "17/68608/48128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68608/48128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68608 ÷ 217
    68608 ÷ 131072     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48128 ÷ 217
    48128 ÷ 131072     		y = 0.3671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3671875 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834485548585937))-π/2
    2×atan(2.30362863838476)-π/2
    2×1.16124511180433-π/2
    2.32249022360866-1.57079632675     		φ = 0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68608 KachelY 48128 0.14726216 0.75169390 8.437500 43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 68609 KachelY 48128 0.14731009 0.75169390 8.440246 43.068888
    Unten links KachelX 68608 KachelY + 1 48129 0.14726216 0.75165888 8.437500 43.066881
    Unten rechts KachelX + 1 68609 KachelY + 1 48129 0.14731009 0.75165888 8.440246 43.066881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75169390-0.75165888) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dl = 223.112419999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75169390-0.75165888) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dr = 223.112419999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14731009) × cos(0.75169390) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 223.077098434775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14731009) × cos(0.75165888) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.730557105725416 × 6371000     		du = 223.084400835245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75169390)-sin(0.75165888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.730557105725416)×R²
    abs(0.14731009-0.14726216)×2.39139112010456e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39139112010456e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39139112010456e-05×40589641000000     		ar = 49772.0859114953m²