Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70652 / 44028
↖ ↑ ↗
← N 50.743408°
E 14.051514°		 ← 193.27 m → N 50.743408°
E 14.054261°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
N 50.741669°
E 14.051514°		 ← 193.28 m →
37 359 m²		 N 50.741669°
E 14.054261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539035797119141 y=0.335910797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539035797119141 × 217)
    floor (0.539035797119141 × 131072)
    floor (70652.5)     		tx = 70652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335910797119141 × 217)
    floor (0.335910797119141 × 131072)
    floor (44028.5)     		ty = 44028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70652 / 44028 ti = "17/70652/44028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70652/44028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70652 ÷ 217
    70652 ÷ 131072     		x = 0.539031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44028 ÷ 217
    44028 ÷ 131072     		y = 0.335906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539031982421875 × 2 - 1) × π
    0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335906982421875 × 2 - 1) × π
    0.32818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03102683702817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24524518} λ = 0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03102683702817))-π/2
    2×atan(2.80394355003596)-π/2
    2×1.22821793276316-π/2
    2.45643586552632-1.57079632675     		φ = 0.88563954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88563954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.743408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70652 KachelY 44028 0.24524518 0.88563954 14.051514 50.743408
    Oben rechts KachelX + 1 70653 KachelY 44028 0.24529312 0.88563954 14.054261 50.743408
    Unten links KachelX 70652 KachelY + 1 44029 0.24524518 0.88560920 14.051514 50.741669
    Unten rechts KachelX + 1 70653 KachelY + 1 44029 0.24529312 0.88560920 14.054261 50.741669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88563954-0.88560920) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88563954-0.88560920) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24524518-0.24529312) × cos(0.88563954) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.632794422419974 × 6371000     		do = 193.271704735478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24524518-0.24529312) × cos(0.88560920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.632817914992752 × 6371000     		du = 193.278879971904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88563954)-sin(0.88560920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632794422419974-0.632817914992752)×R²
    abs(0.24529312-0.24524518)×2.34925727784496e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34925727784496e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34925727784496e-05×40589641000000     		ar = 37359.3679722736m²