Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70656 / 44032
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E 14.062500°		 ← 193.26 m → N 50.736455°
E 14.065246°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
N 50.734717°
E 14.062500°		 ← 193.27 m →
37 357 m²		 N 50.734717°
E 14.065246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539066314697266 y=0.335941314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539066314697266 × 217)
    floor (0.539066314697266 × 131072)
    floor (70656.5)     		tx = 70656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335941314697266 × 217)
    floor (0.335941314697266 × 131072)
    floor (44032.5)     		ty = 44032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70656 / 44032 ti = "17/70656/44032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70656/44032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70656 ÷ 217
    70656 ÷ 131072     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44032 ÷ 217
    44032 ÷ 131072     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70656 KachelY 44032 0.24543693 0.88551819 14.062500 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 70657 KachelY 44032 0.24548486 0.88551819 14.065246 50.736455
    Unten links KachelX 70656 KachelY + 1 44033 0.24543693 0.88548785 14.062500 50.734717
    Unten rechts KachelX + 1 70657 KachelY + 1 44033 0.24548486 0.88548785 14.065246 50.734717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.88548785) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.88548785) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24548486) × cos(0.88551819) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 193.260080930156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24548486) × cos(0.88548785) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632911871716224 × 6371000     		du = 193.267253958372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.88548785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.632911871716224)×R²
    abs(0.24548486-0.24543693)×2.34902427656003e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34902427656003e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34902427656003e-05×40589641000000     		ar = 37357.1209219766m²