Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70687 / 44063
↖ ↑ ↗
← N 50.682537°
E 14.147644°		 ← 193.52 m → N 50.682537°
E 14.150391°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
N 50.680797°
E 14.147644°		 ← 193.53 m →
37 445 m²		 N 50.680797°
E 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539302825927734 y=0.336177825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539302825927734 × 217)
    floor (0.539302825927734 × 131072)
    floor (70687.5)     		tx = 70687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336177825927734 × 217)
    floor (0.336177825927734 × 131072)
    floor (44063.5)     		ty = 44063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70687 / 44063 ti = "17/70687/44063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70687/44063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70687 ÷ 217
    70687 ÷ 131072     		x = 0.539299011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44063 ÷ 217
    44063 ÷ 131072     		y = 0.336174011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539299011230469 × 2 - 1) × π
    0.0785980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24692297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336174011230469 × 2 - 1) × π
    0.327651977539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.02934904554147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24692297} λ = 0.24692297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02934904554147))-π/2
    2×atan(2.79924306174079)-π/2
    2×1.22768673934026-π/2
    2.45537347868051-1.57079632675     		φ = 0.88457715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24692297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.147644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88457715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.682537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70687 KachelY 44063 0.24692297 0.88457715 14.147644 50.682537
    Oben rechts KachelX + 1 70688 KachelY 44063 0.24697091 0.88457715 14.150391 50.682537
    Unten links KachelX 70687 KachelY + 1 44064 0.24692297 0.88454678 14.147644 50.680797
    Unten rechts KachelX + 1 70688 KachelY + 1 44064 0.24697091 0.88454678 14.150391 50.680797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88457715-0.88454678) × R
    3.03700000000573e-05 × 6371000     		dl = 193.487270000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88457715-0.88454678) × R
    3.03700000000573e-05 × 6371000     		dr = 193.487270000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24692297-0.24697091) × cos(0.88457715) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633616694814218 × 6371000     		do = 193.522847889972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24692297-0.24697091) × cos(0.88454678) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633640190185394 × 6371000     		du = 193.5300239811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88457715)-sin(0.88454678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633616694814218-0.633640190185394)×R²
    abs(0.24697091-0.24692297)×2.34953711755193e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34953711755193e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34953711755193e-05×40589641000000     		ar = 37444.9017650248m²