Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70704 / 44080
↖ ↑ ↗
← N 50.652944°
E 14.194336°		 ← 193.60 m → N 50.652944°
E 14.197082°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.651202°
E 14.194336°		 ← 193.61 m →
37 498 m²		 N 50.651202°
E 14.197082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539432525634766 y=0.336307525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539432525634766 × 217)
    floor (0.539432525634766 × 131072)
    floor (70704.5)     		tx = 70704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336307525634766 × 217)
    floor (0.336307525634766 × 131072)
    floor (44080.5)     		ty = 44080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70704 / 44080 ti = "17/70704/44080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70704/44080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70704 ÷ 217
    70704 ÷ 131072     		x = 0.5394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44080 ÷ 217
    44080 ÷ 131072     		y = 0.3363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5394287109375 × 2 - 1) × π
    0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3363037109375 × 2 - 1) × π
    0.327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02853411824792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24773790} λ = 0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02853411824792))-π/2
    2×atan(2.79696281141383)-π/2
    2×1.22742848218056-π/2
    2.45485696436112-1.57079632675     		φ = 0.88406064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88406064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.652944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70704 KachelY 44080 0.24773790 0.88406064 14.194336 50.652944
    Oben rechts KachelX + 1 70705 KachelY 44080 0.24778583 0.88406064 14.197082 50.652944
    Unten links KachelX 70704 KachelY + 1 44081 0.24773790 0.88403024 14.194336 50.651202
    Unten rechts KachelX + 1 70705 KachelY + 1 44081 0.24778583 0.88403024 14.197082 50.651202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88406064-0.88403024) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88406064-0.88403024) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24773790-0.24778583) × cos(0.88406064) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634016206757387 × 6371000     		do = 193.604475948342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24773790-0.24778583) × cos(0.88403024) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634039715385089 × 6371000     		du = 193.611654590619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88406064)-sin(0.88403024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634016206757387-0.634039715385089)×R²
    abs(0.24778583-0.24773790)×2.35086277019514e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35086277019514e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35086277019514e-05×40589641000000     		ar = 37497.7003113499m²