Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70720 / 42048
↖ ↑ ↗
← N 54.059388°
E 14.238281°		 ← 179.23 m → N 54.059388°
E 14.241028°		 →
↑
179.28 m
↓
↑
179.28 m
↓
N 54.057776°
E 14.238281°		 ← 179.24 m →
32 133 m²		 N 54.057776°
E 14.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539554595947266 y=0.320804595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539554595947266 × 217)
    floor (0.539554595947266 × 131072)
    floor (70720.5)     		tx = 70720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320804595947266 × 217)
    floor (0.320804595947266 × 131072)
    floor (42048.5)     		ty = 42048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70720 / 42048 ti = "17/70720/42048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70720/42048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70720 ÷ 217
    70720 ÷ 131072     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42048 ÷ 217
    42048 ÷ 131072     		y = 0.32080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32080078125 × 2 - 1) × π
    0.3583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12594189827588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12594189827588))-π/2
    2×atan(3.08311946662807)-π/2
    2×1.25715531850516-π/2
    2.51431063701033-1.57079632675     		φ = 0.94351431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94351431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.059388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70720 KachelY 42048 0.24850489 0.94351431 14.238281 54.059388
    Oben rechts KachelX + 1 70721 KachelY 42048 0.24855282 0.94351431 14.241028 54.059388
    Unten links KachelX 70720 KachelY + 1 42049 0.24850489 0.94348617 14.238281 54.057776
    Unten rechts KachelX + 1 70721 KachelY + 1 42049 0.24855282 0.94348617 14.241028 54.057776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94351431-0.94348617) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dl = 179.279939999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94351431-0.94348617) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dr = 179.279939999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(0.94351431) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586946379317181 × 6371000     		do = 179.23113788945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(0.94348617) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586969161955005 × 6371000     		du = 179.238094841985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94351431)-sin(0.94348617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586946379317181-0.586969161955005)×R²
    abs(0.24855282-0.24850489)×2.27826378240703e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27826378240703e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27826378240703e-05×40589641000000     		ar = 32133.1712699445m²