Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70736 / 44112
↖ ↑ ↗
← N 50.597186°
E 14.282227°		 ← 193.83 m → N 50.597186°
E 14.284973°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 50.595443°
E 14.282227°		 ← 193.84 m →
37 579 m²		 N 50.595443°
E 14.284973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539676666259766 y=0.336551666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539676666259766 × 217)
    floor (0.539676666259766 × 131072)
    floor (70736.5)     		tx = 70736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336551666259766 × 217)
    floor (0.336551666259766 × 131072)
    floor (44112.5)     		ty = 44112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70736 / 44112 ti = "17/70736/44112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70736/44112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70736 ÷ 217
    70736 ÷ 131072     		x = 0.5396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44112 ÷ 217
    44112 ÷ 131072     		y = 0.3365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5396728515625 × 2 - 1) × π
    0.079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24927188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3365478515625 × 2 - 1) × π
    0.326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02700013746008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24927188} λ = 0.24927188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02700013746008))-π/2
    2×atan(2.79267561327728)-π/2
    2×1.22694190937237-π/2
    2.45388381874475-1.57079632675     		φ = 0.88308749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24927188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88308749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.597186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70736 KachelY 44112 0.24927188 0.88308749 14.282227 50.597186
    Oben rechts KachelX + 1 70737 KachelY 44112 0.24931981 0.88308749 14.284973 50.597186
    Unten links KachelX 70736 KachelY + 1 44113 0.24927188 0.88305706 14.282227 50.595443
    Unten rechts KachelX + 1 70737 KachelY + 1 44113 0.24931981 0.88305706 14.284973 50.595443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88308749-0.88305706) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88308749-0.88305706) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24927188-0.24931981) × cos(0.88308749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634768462548737 × 6371000     		do = 193.834186303868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24927188-0.24931981) × cos(0.88305706) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634791975588872 × 6371000     		du = 193.841366293535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88308749)-sin(0.88305706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634768462548737-0.634791975588872)×R²
    abs(0.24931981-0.24927188)×2.3513040135148e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3513040135148e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3513040135148e-05×40589641000000     		ar = 37579.2385903937m²