Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70792 / 44168
↖ ↑ ↗
← N 50.499452°
E 14.436035°		 ← 194.28 m → N 50.499452°
E 14.438782°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
N 50.497705°
E 14.436035°		 ← 194.28 m →
37 739 m²		 N 50.497705°
E 14.438782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540103912353516 y=0.336978912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540103912353516 × 217)
    floor (0.540103912353516 × 131072)
    floor (70792.5)     		tx = 70792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336978912353516 × 217)
    floor (0.336978912353516 × 131072)
    floor (44168.5)     		ty = 44168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70792 / 44168 ti = "17/70792/44168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70792/44168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70792 ÷ 217
    70792 ÷ 131072     		x = 0.54010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44168 ÷ 217
    44168 ÷ 131072     		y = 0.33697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54010009765625 × 2 - 1) × π
    0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33697509765625 × 2 - 1) × π
    0.3260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02431567108136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25195634} λ = 0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02431567108136))-π/2
    2×atan(2.78518882300119)-π/2
    2×1.22608901822184-π/2
    2.45217803644369-1.57079632675     		φ = 0.88138171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88138171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.499452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70792 KachelY 44168 0.25195634 0.88138171 14.436035 50.499452
    Oben rechts KachelX + 1 70793 KachelY 44168 0.25200428 0.88138171 14.438782 50.499452
    Unten links KachelX 70792 KachelY + 1 44169 0.25195634 0.88135122 14.436035 50.497705
    Unten rechts KachelX + 1 70793 KachelY + 1 44169 0.25200428 0.88135122 14.438782 50.497705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88138171-0.88135122) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88138171-0.88135122) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25195634-0.25200428) × cos(0.88138171) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636085598721362 × 6371000     		do = 194.276914692913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25195634-0.25200428) × cos(0.88135122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636109125073789 × 6371000     		du = 194.284100246512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88138171)-sin(0.88135122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636085598721362-0.636109125073789)×R²
    abs(0.25200428-0.25195634)×2.35263524267504e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35263524267504e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35263524267504e-05×40589641000000     		ar = 37739.336341131m²