Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70911 / 44289
↖ ↑ ↗
← N 50.287584°
E 14.762879°		 ← 195.11 m → N 50.287584°
E 14.765625°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
N 50.285829°
E 14.762879°		 ← 195.11 m →
38 074 m²		 N 50.285829°
E 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541011810302734 y=0.337902069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541011810302734 × 217)
    floor (0.541011810302734 × 131072)
    floor (70911.5)     		tx = 70911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337902069091797 × 217)
    floor (0.337902069091797 × 131072)
    floor (44289.5)     		ty = 44289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70911 / 44289 ti = "17/70911/44289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70911/44289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70911 ÷ 217
    70911 ÷ 131072     		x = 0.541007995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44289 ÷ 217
    44289 ÷ 131072     		y = 0.337898254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541007995605469 × 2 - 1) × π
    0.0820159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25766084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337898254394531 × 2 - 1) × π
    0.324203491210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01851530622733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25766084} λ = 0.25766084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01851530622733))-π/2
    2×atan(2.76908047395399)-π/2
    2×1.22424012371157-π/2
    2.44848024742315-1.57079632675     		φ = 0.87768392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25766084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.762879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87768392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.287584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70911 KachelY 44289 0.25766084 0.87768392 14.762879 50.287584
    Oben rechts KachelX + 1 70912 KachelY 44289 0.25770877 0.87768392 14.765625 50.287584
    Unten links KachelX 70911 KachelY + 1 44290 0.25766084 0.87765329 14.762879 50.285829
    Unten rechts KachelX + 1 70912 KachelY + 1 44290 0.25770877 0.87765329 14.765625 50.285829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87768392-0.87765329) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dl = 195.143729999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87768392-0.87765329) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dr = 195.143729999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25766084-0.25770877) × cos(0.87768392) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638934526594497 × 6371000     		do = 195.106344077878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25766084-0.25770877) × cos(0.87765329) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638958088762876 × 6371000     		du = 195.113539069445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87768392)-sin(0.87765329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638934526594497-0.638958088762876)×R²
    abs(0.25770877-0.25766084)×2.35621683782883e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35621683782883e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35621683782883e-05×40589641000000     		ar = 38074.4817615127m²