Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70914 / 44290
↖ ↑ ↗
← N 50.285829°
E 14.771118°		 ← 195.11 m → N 50.285829°
E 14.773865°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
N 50.284074°
E 14.771118°		 ← 195.12 m →
38 076 m²		 N 50.284074°
E 14.773865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541034698486328 y=0.337909698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541034698486328 × 217)
    floor (0.541034698486328 × 131072)
    floor (70914.5)     		tx = 70914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337909698486328 × 217)
    floor (0.337909698486328 × 131072)
    floor (44290.5)     		ty = 44290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70914 / 44290 ti = "17/70914/44290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70914/44290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70914 ÷ 217
    70914 ÷ 131072     		x = 0.541030883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44290 ÷ 217
    44290 ÷ 131072     		y = 0.337905883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541030883789062 × 2 - 1) × π
    0.082061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25780465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337905883789062 × 2 - 1) × π
    0.324188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01846736932771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25780465} λ = 0.25780465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01846736932771))-π/2
    2×atan(2.76894773600282)-π/2
    2×1.22422480915909-π/2
    2.44844961831818-1.57079632675     		φ = 0.87765329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25780465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.771118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87765329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.285829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70914 KachelY 44290 0.25780465 0.87765329 14.771118 50.285829
    Oben rechts KachelX + 1 70915 KachelY 44290 0.25785258 0.87765329 14.773865 50.285829
    Unten links KachelX 70914 KachelY + 1 44291 0.25780465 0.87762266 14.771118 50.284074
    Unten rechts KachelX + 1 70915 KachelY + 1 44291 0.25785258 0.87762266 14.773865 50.284074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87765329-0.87762266) × R
    3.06300000000315e-05 × 6371000     		dl = 195.1437300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87765329-0.87762266) × R
    3.06300000000315e-05 × 6371000     		dr = 195.1437300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25780465-0.25785258) × cos(0.87765329) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638958088762876 × 6371000     		do = 195.113539069445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25780465-0.25785258) × cos(0.87762266) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638981650331785 × 6371000     		du = 195.120733877958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87765329)-sin(0.87762266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638958088762876-0.638981650331785)×R²
    abs(0.25785258-0.25780465)×2.35615689098134e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35615689098134e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35615689098134e-05×40589641000000     		ar = 38075.8858015686m²