Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72703 / 41983
↖ ↑ ↗
← N 54.164042°
E 19.684753°		 ← 178.82 m → N 54.164042°
E 19.687500°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
N 54.162434°
E 19.684753°		 ← 178.82 m →
31 979 m²		 N 54.162434°
E 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554683685302734 y=0.320308685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554683685302734 × 217)
    floor (0.554683685302734 × 131072)
    floor (72703.5)     		tx = 72703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320308685302734 × 217)
    floor (0.320308685302734 × 131072)
    floor (41983.5)     		ty = 41983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72703 / 41983 ti = "17/72703/41983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72703/41983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72703 ÷ 217
    72703 ÷ 131072     		x = 0.554679870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41983 ÷ 217
    41983 ÷ 131072     		y = 0.320304870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554679870605469 × 2 - 1) × π
    0.109359741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.34356376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320304870605469 × 2 - 1) × π
    0.359390258789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.12905779675118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34356376} λ = 0.34356376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12905779675118))-π/2
    2×atan(3.09274113616145)-π/2
    2×1.2580685982052-π/2
    2.51613719641041-1.57079632675     		φ = 0.94534087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34356376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.684753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94534087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.164042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72703 KachelY 41983 0.34356376 0.94534087 19.684753 54.164042
    Oben rechts KachelX + 1 72704 KachelY 41983 0.34361170 0.94534087 19.687500 54.164042
    Unten links KachelX 72703 KachelY + 1 41984 0.34356376 0.94531280 19.684753 54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 72704 KachelY + 1 41984 0.34361170 0.94531280 19.687500 54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94534087-0.94531280) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dl = 178.833970000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94534087-0.94531280) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dr = 178.833970000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34356376-0.34361170) × cos(0.94534087) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585466570904332 × 6371000     		do = 178.816560663808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34356376-0.34361170) × cos(0.94531280) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 178.823510938506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94534087)-sin(0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585466570904332-0.585489326925804)×R²
    abs(0.34361170-0.34356376)×2.2756021472059e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2756021472059e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2756021472059e-05×40589641000000     		ar = 31979.0969200359m²