Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72720 / 46096
↖ ↑ ↗
← N 47.010226°
E 19.731445°		 ← 208.22 m → N 47.010226°
E 19.734192°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
N 47.008353°
E 19.731445°		 ← 208.22 m →
43 366 m²		 N 47.008353°
E 19.734192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554813385009766 y=0.351688385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554813385009766 × 217)
    floor (0.554813385009766 × 131072)
    floor (72720.5)     		tx = 72720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351688385009766 × 217)
    floor (0.351688385009766 × 131072)
    floor (46096.5)     		ty = 46096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72720 / 46096 ti = "17/72720/46096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72720/46096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72720 ÷ 217
    72720 ÷ 131072     		x = 0.5548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46096 ÷ 217
    46096 ÷ 131072     		y = 0.3516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5548095703125 × 2 - 1) × π
    0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3516845703125 × 2 - 1) × π
    0.296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.931893328613892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34437869} λ = 0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931893328613892))-π/2
    2×atan(2.53931238195328)-π/2
    2×1.19563977328696-π/2
    2.39127954657392-1.57079632675     		φ = 0.82048322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82048322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.010226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72720 KachelY 46096 0.34437869 0.82048322 19.731445 47.010226
    Oben rechts KachelX + 1 72721 KachelY 46096 0.34442662 0.82048322 19.734192 47.010226
    Unten links KachelX 72720 KachelY + 1 46097 0.34437869 0.82045053 19.731445 47.008353
    Unten rechts KachelX + 1 72721 KachelY + 1 46097 0.34442662 0.82045053 19.734192 47.008353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82048322-0.82045053) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dl = 208.267989999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82048322-0.82045053) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dr = 208.267989999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34437869-0.34442662) × cos(0.82048322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681867823363663 × 6371000     		do = 208.216542734137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34437869-0.34442662) × cos(0.82045053) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681891734930389 × 6371000     		du = 208.223844418693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82048322)-sin(0.82045053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681867823363663-0.681891734930389)×R²
    abs(0.34442662-0.34437869)×2.3911566725543e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3911566725543e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3911566725543e-05×40589641000000     		ar = 43365.6011973729m²