Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73729 / 40961
↖ ↑ ↗
← N 55.775028°
E 22.502747°		 ← 171.78 m → N 55.775028°
E 22.505493°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
N 55.773483°
E 22.502747°		 ← 171.79 m →
29 507 m²		 N 55.773483°
E 22.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562511444091797 y=0.312511444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562511444091797 × 217)
    floor (0.562511444091797 × 131072)
    floor (73729.5)     		tx = 73729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312511444091797 × 217)
    floor (0.312511444091797 × 131072)
    floor (40961.5)     		ty = 40961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73729 / 40961 ti = "17/73729/40961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73729/40961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73729 ÷ 217
    73729 ÷ 131072     		x = 0.562507629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40961 ÷ 217
    40961 ÷ 131072     		y = 0.312507629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562507629394531 × 2 - 1) × π
    0.125015258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.39274702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312507629394531 × 2 - 1) × π
    0.374984741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.17804930816288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39274702} λ = 0.39274702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17804930816288))-π/2
    2×atan(3.2480321094432)-π/2
    2×1.27212710507657-π/2
    2.54425421015315-1.57079632675     		φ = 0.97345788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39274702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.502747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97345788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.775028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73729 KachelY 40961 0.39274702 0.97345788 22.502747 55.775028
    Oben rechts KachelX + 1 73730 KachelY 40961 0.39279496 0.97345788 22.505493 55.775028
    Unten links KachelX 73729 KachelY + 1 40962 0.39274702 0.97343092 22.502747 55.773483
    Unten rechts KachelX + 1 73730 KachelY + 1 40962 0.39279496 0.97343092 22.505493 55.773483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97345788-0.97343092) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97345788-0.97343092) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39274702-0.39279496) × cos(0.97345788) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562443801412899 × 6371000     		do = 171.784814255034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39274702-0.39279496) × cos(0.97343092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562466092694 × 6371000     		du = 171.79162258606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97345788)-sin(0.97343092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562443801412899-0.562466092694)×R²
    abs(0.39279496-0.39274702)×2.22912811005394e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22912811005394e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22912811005394e-05×40589641000000     		ar = 29506.7154602399m²