Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74240 / 41472
↖ ↑ ↗
← N 54.977613°
E 23.906250°		 ← 175.28 m → N 54.977613°
E 23.908997°		 →
↑
175.27 m
↓
↑
175.27 m
↓
N 54.976037°
E 23.906250°		 ← 175.29 m →
30 722 m²		 N 54.976037°
E 23.908997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566410064697266 y=0.316410064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566410064697266 × 217)
    floor (0.566410064697266 × 131072)
    floor (74240.5)     		tx = 74240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316410064697266 × 217)
    floor (0.316410064697266 × 131072)
    floor (41472.5)     		ty = 41472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74240 / 41472 ti = "17/74240/41472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74240/41472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74240 ÷ 217
    74240 ÷ 131072     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41472 ÷ 217
    41472 ÷ 131072     		y = 0.31640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31640625 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15355355245703))-π/2
    2×atan(3.16943567791621)-π/2
    2×1.26516835010953-π/2
    2.53033670021907-1.57079632675     		φ = 0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74240 KachelY 41472 0.41724277 0.95954037 23.906250 54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 74241 KachelY 41472 0.41729071 0.95954037 23.908997 54.977613
    Unten links KachelX 74240 KachelY + 1 41473 0.41724277 0.95951286 23.906250 54.976037
    Unten rechts KachelX + 1 74241 KachelY + 1 41473 0.41729071 0.95951286 23.908997 54.976037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95954037-0.95951286) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dl = 175.266210000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95954037-0.95951286) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dr = 175.266210000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41729071) × cos(0.95954037) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 175.282748077087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41729071) × cos(0.95951286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573918978987568 × 6371000     		du = 175.28962885741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95954037)-sin(0.95951286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.573918978987568)×R²
    abs(0.41729071-0.41724277)×2.2528488670126e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2528488670126e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2528488670126e-05×40589641000000     		ar = 30721.7459199766m²