Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7712 / 5664
↖ ↑ ↗
← N 48.458352°
W 10.546875°		 ← 1 620.25 m → N 48.458352°
W 10.524902°		 →
↑
1 620.53 m
↓
↑
1 620.53 m
↓
N 48.443778°
W 10.546875°		 ← 1 620.72 m →
2 626 041 m²		 N 48.443778°
W 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470733642578125 y=0.345733642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470733642578125 × 214)
    floor (0.470733642578125 × 16384)
    floor (7712.5)     		tx = 7712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345733642578125 × 214)
    floor (0.345733642578125 × 16384)
    floor (5664.5)     		ty = 5664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7712 / 5664 ti = "14/7712/5664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7712/5664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7712 ÷ 214
    7712 ÷ 16384     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5664 ÷ 214
    5664 ÷ 16384     		y = 0.345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345703125 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969475857916016))-π/2
    2×atan(2.63656216393904)-π/2
    2×1.20827705861076-π/2
    2.41655411722153-1.57079632675     		φ = 0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7712 KachelY 5664 -0.18407769 0.84575779 -10.546875 48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 7713 KachelY 5664 -0.18369420 0.84575779 -10.524902 48.458352
    Unten links KachelX 7712 KachelY + 1 5665 -0.18407769 0.84550343 -10.546875 48.443778
    Unten rechts KachelX + 1 7713 KachelY + 1 5665 -0.18369420 0.84550343 -10.524902 48.443778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84575779-0.84550343) × R
    0.000254360000000009 × 6371000     		dl = 1620.52756000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84575779-0.84550343) × R
    0.000254360000000009 × 6371000     		dr = 1620.52756000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18369420) × cos(0.84575779) × R
    0.000383489999999986 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 1620.25279405068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18369420) × cos(0.84550343) × R
    0.000383489999999986 × 0.663354647297183 × 6371000     		du = 1620.71788529165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84575779)-sin(0.84550343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.663354647297183)×R²
    abs(-0.18369420--0.18407769)×0.000190360357541941×R²
    0.000383489999999986×0.000190360357541941×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190360357541941×40589641000000     		ar = 2626041.16767178m²