Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77823 / 53249
↖ ↑ ↗
← N 31.949832°
E 33.747254°		 ← 259.10 m → N 31.949832°
E 33.750000°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.947501°
E 33.747254°		 ← 259.11 m →
67 153 m²		 N 31.947501°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593746185302734 y=0.406261444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593746185302734 × 217)
    floor (0.593746185302734 × 131072)
    floor (77823.5)     		tx = 77823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406261444091797 × 217)
    floor (0.406261444091797 × 131072)
    floor (53249.5)     		ty = 53249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77823 / 53249 ti = "17/77823/53249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77823/53249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77823 ÷ 217
    77823 ÷ 131072     		x = 0.593742370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53249 ÷ 217
    53249 ÷ 131072     		y = 0.406257629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593742370605469 × 2 - 1) × π
    0.187484741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58900069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406257629394531 × 2 - 1) × π
    0.187484741210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.58900068563163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58900069} λ = 0.58900069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58900068563163))-π/2
    2×atan(1.80218656431177)-π/2
    2×1.06421304322898-π/2
    2.12842608645797-1.57079632675     		φ = 0.55762976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58900069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.747254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55762976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.949832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77823 KachelY 53249 0.58900069 0.55762976 33.747254 31.949832
    Oben rechts KachelX + 1 77824 KachelY 53249 0.58904862 0.55762976 33.750000 31.949832
    Unten links KachelX 77823 KachelY + 1 53250 0.58900069 0.55758908 33.747254 31.947501
    Unten rechts KachelX + 1 77824 KachelY + 1 53250 0.58904862 0.55758908 33.750000 31.947501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55762976-0.55758908) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55762976-0.55758908) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58900069-0.58904862) × cos(0.55762976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.848511768653843 × 6371000     		do = 259.103276155187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58900069-0.58904862) × cos(0.55758908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.848533294852168 × 6371000     		du = 259.109849438805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55762976)-sin(0.55758908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848511768653843-0.848533294852168)×R²
    abs(0.58904862-0.58900069)×2.15261983250725e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15261983250725e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15261983250725e-05×40589641000000     		ar = 67153.2386523271m²