Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8072 / 5512
↖ ↑ ↗
← N 50.625073°
W  2.636719°		 ← 1 549.96 m → N 50.625073°
W  2.614746°		 →
↑
1 550.19 m
↓
↑
1 550.19 m
↓
N 50.611132°
W  2.636719°		 ← 1 550.42 m →
2 403 086 m²		 N 50.611132°
W  2.614746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492706298828125 y=0.336456298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492706298828125 × 214)
    floor (0.492706298828125 × 16384)
    floor (8072.5)     		tx = 8072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336456298828125 × 214)
    floor (0.336456298828125 × 16384)
    floor (5512.5)     		ty = 5512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8072 / 5512 ti = "14/8072/5512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8072/5512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8072 ÷ 214
    8072 ÷ 16384     		x = 0.49267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5512 ÷ 214
    5512 ÷ 16384     		y = 0.33642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33642578125 × 2 - 1) × π
    0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04601942} λ = -0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.027767127854))-π/2
    2×atan(2.79481839028565)-π/2
    2×1.22718526789777-π/2
    2.45437053579553-1.57079632675     		φ = 0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8072 KachelY 5512 -0.04601942 0.88357421 -2.636719 50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 8073 KachelY 5512 -0.04563593 0.88357421 -2.614746 50.625073
    Unten links KachelX 8072 KachelY + 1 5513 -0.04601942 0.88333089 -2.636719 50.611132
    Unten rechts KachelX + 1 8073 KachelY + 1 5513 -0.04563593 0.88333089 -2.614746 50.611132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88357421-0.88333089) × R
    0.000243320000000047 × 6371000     		dl = 1550.1917200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88357421-0.88333089) × R
    0.000243320000000047 × 6371000     		dr = 1550.1917200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04601942--0.04563593) × cos(0.88357421) × R
    0.00038349 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 1549.95664431549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04601942--0.04563593) × cos(0.88333089) × R
    0.00038349 × 0.634580367983464 × 6371000     		du = 1550.41614050084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88357421)-sin(0.88333089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.634580367983464)×R²
    abs(-0.04563593--0.04601942)×0.000188070319169564×R²
    0.00038349×0.000188070319169564×6371000²
    0.00038349×0.000188070319169564×40589641000000     		ar = 2403086.12182408m²