Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8191 / 8193
↖ ↑ ↗
← N 66.508882°
W 90.010986°		 ← 486.93 m → N 66.508882°
W 90.000000°		 →
↑
487 m
↓
↑
487 m
↓
N 66.504502°
W 90.010986°		 ← 487.01 m →
237 155 m²		 N 66.504502°
W 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.249984741210938 y=0.250045776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.249984741210938 × 215)
    floor (0.249984741210938 × 32768)
    floor (8191.5)     		tx = 8191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250045776367188 × 215)
    floor (0.250045776367188 × 32768)
    floor (8193.5)     		ty = 8193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8191 / 8193 ti = "15/8191/8193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8191/8193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8191 ÷ 215
    8191 ÷ 32768     		x = 0.249969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8193 ÷ 215
    8193 ÷ 32768     		y = 0.250030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.249969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.50006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.57098807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250030517578125 × 2 - 1) × π
    0.49993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57060457915152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57098807} λ = -1.57098807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57060457915152))-π/2
    2×atan(4.80955507169217)-π/2
    2×1.36579764627435-π/2
    2.73159529254869-1.57079632675     		φ = 1.16079897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57098807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16079897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.508882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8191 KachelY 8193 -1.57098807 1.16079897 -90.010986 66.508882
    Oben rechts KachelX + 1 8192 KachelY 8193 -1.57079633 1.16079897 -90.000000 66.508882
    Unten links KachelX 8191 KachelY + 1 8194 -1.57098807 1.16072253 -90.010986 66.504502
    Unten rechts KachelX + 1 8192 KachelY + 1 8194 -1.57079633 1.16072253 -90.000000 66.504502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16079897-1.16072253) × R
    7.64400000001775e-05 × 6371000     		dl = 486.999240001131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16079897-1.16072253) × R
    7.64400000001775e-05 × 6371000     		dr = 486.999240001131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57098807--1.57079633) × cos(1.16079897) × R
    0.000191739999999996 × 0.398606903844591 × 6371000     		do = 486.928443811674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57098807--1.57079633) × cos(1.16072253) × R
    0.000191739999999996 × 0.398677007476212 × 6371000     		du = 487.014080693327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16079897)-sin(1.16072253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398606903844591-0.398677007476212)×R²
    abs(-1.57079633--1.57098807)×7.01036316206882e-05×R²
    0.000191739999999996×7.01036316206882e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.01036316206882e-05×40589641000000     		ar = 237154.634735189m²