Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8240 / 8176
↖ ↑ ↗
← N  0.351560°
E  1.054688°		 ← 2 443.17 m → N  0.351560°
E  1.076660°		 →
↑
2 443.15 m
↓
↑
2 443.15 m
↓
N  0.329588°
E  1.054688°		 ← 2 443.17 m →
5 969 037 m²		 N  0.329588°
E  1.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502960205078125 y=0.499053955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502960205078125 × 214)
    floor (0.502960205078125 × 16384)
    floor (8240.5)     		tx = 8240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499053955078125 × 214)
    floor (0.499053955078125 × 16384)
    floor (8176.5)     		ty = 8176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8240 / 8176 ti = "14/8240/8176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8240/8176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8240 ÷ 214
    8240 ÷ 16384     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8176 ÷ 214
    8176 ÷ 16384     		y = 0.4990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00613592315136719))-π/2
    2×atan(1.00615478648942)-π/2
    2×0.788466105722083-π/2
    1.57693221144417-1.57079632675     		φ = 0.00613588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00613588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.351560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8240 KachelY 8176 0.01840777 0.00613588 1.054688 0.351560
    Oben rechts KachelX + 1 8241 KachelY 8176 0.01879126 0.00613588 1.076660 0.351560
    Unten links KachelX 8240 KachelY + 1 8177 0.01840777 0.00575240 1.054688 0.329588
    Unten rechts KachelX + 1 8241 KachelY + 1 8177 0.01879126 0.00575240 1.076660 0.329588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00613588-0.00575240) × R
    0.000383479999999999 × 6371000     		dl = 2443.15108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00613588-0.00575240) × R
    0.000383479999999999 × 6371000     		dr = 2443.15108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.01879126) × cos(0.00613588) × R
    0.00038349 × 0.999981175547373 × 6371000     		do = 2443.16879781893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.01879126) × cos(0.00575240) × R
    0.00038349 × 0.999983454992743 × 6371000     		du = 2443.17436699357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00613588)-sin(0.00575240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981175547373-0.999983454992743)×R²
    abs(0.01879126-0.01840777)×2.27944537001257e-06×R²
    0.00038349×2.27944537001257e-06×6371000²
    0.00038349×2.27944537001257e-06×40589641000000     		ar = 5969037.36333014m²