Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8319 / 5503
↖ ↑ ↗
← N 50.750360°
E  2.790527°		 ← 1 545.86 m → N 50.750360°
E  2.812500°		 →
↑
1 546.11 m
↓
↑
1 546.11 m
↓
N 50.736455°
E  2.790527°		 ← 1 546.32 m →
2 390 437 m²		 N 50.736455°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507781982421875 y=0.335906982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507781982421875 × 214)
    floor (0.507781982421875 × 16384)
    floor (8319.5)     		tx = 8319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335906982421875 × 214)
    floor (0.335906982421875 × 16384)
    floor (5503.5)     		ty = 5503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8319 / 5503 ti = "14/8319/5503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8319/5503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8319 ÷ 214
    8319 ÷ 16384     		x = 0.50775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5503 ÷ 214
    5503 ÷ 16384     		y = 0.33587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50775146484375 × 2 - 1) × π
    0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33587646484375 × 2 - 1) × π
    0.3282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03121858462665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04870389} λ = 0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03121858462665))-π/2
    2×atan(2.80448125102774)-π/2
    2×1.22827859666491-π/2
    2.45655719332981-1.57079632675     		φ = 0.88576087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88576087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.750360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8319 KachelY 5503 0.04870389 0.88576087 2.790527 50.750360
    Oben rechts KachelX + 1 8320 KachelY 5503 0.04908739 0.88576087 2.812500 50.750360
    Unten links KachelX 8319 KachelY + 1 5504 0.04870389 0.88551819 2.790527 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 8320 KachelY + 1 5504 0.04908739 0.88551819 2.812500 50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88576087-0.88551819) × R
    0.000242680000000051 × 6371000     		dl = 1546.11428000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88576087-0.88551819) × R
    0.000242680000000051 × 6371000     		dr = 1546.11428000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04870389-0.04908739) × cos(0.88576087) × R
    0.000383500000000002 × 0.632700469536004 × 6371000     		do = 1545.86345415723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04870389-0.04908739) × cos(0.88551819) × R
    0.000383500000000002 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 1546.32257535391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88576087)-sin(0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632700469536004-0.632888381473458)×R²
    abs(0.04908739-0.04870389)×0.000187911937454044×R²
    0.000383500000000002×0.000187911937454044×6371000²
    0.000383500000000002×0.000187911937454044×40589641000000     		ar = 2390436.50005442m²