Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8321 / 5247
↖ ↑ ↗
← N 54.175297°
E  2.834473°		 ← 1 430.07 m → N 54.175297°
E  2.856446°		 →
↑
1 430.29 m
↓
↑
1 430.29 m
↓
N 54.162434°
E  2.834473°		 ← 1 430.51 m →
2 045 730 m²		 N 54.162434°
E  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507904052734375 y=0.320281982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507904052734375 × 214)
    floor (0.507904052734375 × 16384)
    floor (8321.5)     		tx = 8321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320281982421875 × 214)
    floor (0.320281982421875 × 16384)
    floor (5247.5)     		ty = 5247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8321 / 5247 ti = "14/8321/5247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8321/5247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8321 ÷ 214
    8321 ÷ 16384     		x = 0.50787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5247 ÷ 214
    5247 ÷ 16384     		y = 0.32025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50787353515625 × 2 - 1) × π
    0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32025146484375 × 2 - 1) × π
    0.3594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12939335504852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04947088} λ = 0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12939335504852))-π/2
    2×atan(3.09377910525104)-π/2
    2×1.25816681392776-π/2
    2.51633362785551-1.57079632675     		φ = 0.94553730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94553730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.175297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8321 KachelY 5247 0.04947088 0.94553730 2.834473 54.175297
    Oben rechts KachelX + 1 8322 KachelY 5247 0.04985438 0.94553730 2.856446 54.175297
    Unten links KachelX 8321 KachelY + 1 5248 0.04947088 0.94531280 2.834473 54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 8322 KachelY + 1 5248 0.04985438 0.94531280 2.856446 54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94553730-0.94531280) × R
    0.000224500000000072 × 6371000     		dl = 1430.28950000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94553730-0.94531280) × R
    0.000224500000000072 × 6371000     		dr = 1430.28950000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04947088-0.04985438) × cos(0.94553730) × R
    0.000383499999999995 × 0.585307314487222 × 6371000     		do = 1430.06877737935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04947088-0.04985438) × cos(0.94531280) × R
    0.000383499999999995 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 1430.51348445727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94553730)-sin(0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585307314487222-0.585489326925804)×R²
    abs(0.04985438-0.04947088)×0.000182012438582069×R²
    0.000383499999999995×0.000182012438582069×6371000²
    0.000383499999999995×0.000182012438582069×40589641000000     		ar = 2045730.39508687m²