Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8321 / 5505
↖ ↑ ↗
← N 50.722547°
E  2.834473°		 ← 1 546.78 m → N 50.722547°
E  2.856446°		 →
↑
1 547.01 m
↓
↑
1 547.01 m
↓
N 50.708634°
E  2.834473°		 ← 1 547.24 m →
2 393 236 m²		 N 50.708634°
E  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507904052734375 y=0.336029052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507904052734375 × 214)
    floor (0.507904052734375 × 16384)
    floor (8321.5)     		tx = 8321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336029052734375 × 214)
    floor (0.336029052734375 × 16384)
    floor (5505.5)     		ty = 5505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8321 / 5505 ti = "14/8321/5505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8321/5505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8321 ÷ 214
    8321 ÷ 16384     		x = 0.50787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5505 ÷ 214
    5505 ÷ 16384     		y = 0.33599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50787353515625 × 2 - 1) × π
    0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33599853515625 × 2 - 1) × π
    0.3280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03045159423273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04947088} λ = 0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03045159423273))-π/2
    2×atan(2.80233106553949)-π/2
    2×1.22803588701008-π/2
    2.45607177402016-1.57079632675     		φ = 0.88527545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88527545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.722547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8321 KachelY 5505 0.04947088 0.88527545 2.834473 50.722547
    Oben rechts KachelX + 1 8322 KachelY 5505 0.04985438 0.88527545 2.856446 50.722547
    Unten links KachelX 8321 KachelY + 1 5506 0.04947088 0.88503263 2.834473 50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 8322 KachelY + 1 5506 0.04985438 0.88503263 2.856446 50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88527545-0.88503263) × R
    0.000242819999999977 × 6371000     		dl = 1547.00621999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88527545-0.88503263) × R
    0.000242819999999977 × 6371000     		dr = 1547.00621999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04947088-0.04985438) × cos(0.88527545) × R
    0.000383499999999995 × 0.633076302583213 × 6371000     		do = 1546.78171896104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04947088-0.04985438) × cos(0.88503263) × R
    0.000383499999999995 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 1547.24092270286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88527545)-sin(0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633076302583213-0.633264248305253)×R²
    abs(0.04985438-0.04947088)×0.000187945722039506×R²
    0.000383499999999995×0.000187945722039506×6371000²
    0.000383499999999995×0.000187945722039506×40589641000000     		ar = 2393236.14749488m²