Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8321 / 5761
↖ ↑ ↗
← N 47.025206°
E  2.834473°		 ← 1 665.53 m → N 47.025206°
E  2.856446°		 →
↑
1 665.76 m
↓
↑
1 665.76 m
↓
N 47.010226°
E  2.834473°		 ← 1 665.99 m →
2 774 758 m²		 N 47.010226°
E  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507904052734375 y=0.351654052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507904052734375 × 214)
    floor (0.507904052734375 × 16384)
    floor (8321.5)     		tx = 8321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351654052734375 × 214)
    floor (0.351654052734375 × 16384)
    floor (5761.5)     		ty = 5761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8321 / 5761 ti = "14/8321/5761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8321/5761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8321 ÷ 214
    8321 ÷ 16384     		x = 0.50787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5761 ÷ 214
    5761 ÷ 16384     		y = 0.35162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50787353515625 × 2 - 1) × π
    0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35162353515625 × 2 - 1) × π
    0.2967529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932276823810852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04947088} λ = 0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932276823810852))-π/2
    2×atan(2.54028638280573)-π/2
    2×1.1957705014665-π/2
    2.39154100293299-1.57079632675     		φ = 0.82074468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82074468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.025206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8321 KachelY 5761 0.04947088 0.82074468 2.834473 47.025206
    Oben rechts KachelX + 1 8322 KachelY 5761 0.04985438 0.82074468 2.856446 47.025206
    Unten links KachelX 8321 KachelY + 1 5762 0.04947088 0.82048322 2.834473 47.010226
    Unten rechts KachelX + 1 8322 KachelY + 1 5762 0.04985438 0.82048322 2.856446 47.010226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82074468-0.82048322) × R
    0.000261460000000047 × 6371000     		dl = 1665.7616600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82074468-0.82048322) × R
    0.000261460000000047 × 6371000     		dr = 1665.7616600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04947088-0.04985438) × cos(0.82074468) × R
    0.000383499999999995 × 0.681676548499157 × 6371000     		do = 1665.52565490218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04947088-0.04985438) × cos(0.82048322) × R
    0.000383499999999995 × 0.681867823363663 × 6371000     		du = 1665.99299266621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82074468)-sin(0.82048322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681676548499157-0.681867823363663)×R²
    abs(0.04985438-0.04947088)×0.000191274864505542×R²
    0.000383499999999995×0.000191274864505542×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191274864505542×40589641000000     		ar = 2774758.03215511m²