Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8323 / 5509
↖ ↑ ↗
← N 50.666872°
E  2.878418°		 ← 1 548.62 m → N 50.666872°
E  2.900391°		 →
↑
1 548.79 m
↓
↑
1 548.79 m
↓
N 50.652944°
E  2.878418°		 ← 1 549.08 m →
2 398 841 m²		 N 50.652944°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508026123046875 y=0.336273193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508026123046875 × 214)
    floor (0.508026123046875 × 16384)
    floor (8323.5)     		tx = 8323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336273193359375 × 214)
    floor (0.336273193359375 × 16384)
    floor (5509.5)     		ty = 5509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8323 / 5509 ti = "14/8323/5509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8323/5509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8323 ÷ 214
    8323 ÷ 16384     		x = 0.50799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5509 ÷ 214
    5509 ÷ 16384     		y = 0.33624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50799560546875 × 2 - 1) × π
    0.0159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05023787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33624267578125 × 2 - 1) × π
    0.3275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02891761344489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05023787} λ = 0.05023787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02891761344489))-π/2
    2×atan(2.79803563891703)-π/2
    2×1.22755003523972-π/2
    2.45510007047944-1.57079632675     		φ = 0.88430374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05023787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88430374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.666872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8323 KachelY 5509 0.05023787 0.88430374 2.878418 50.666872
    Oben rechts KachelX + 1 8324 KachelY 5509 0.05062137 0.88430374 2.900391 50.666872
    Unten links KachelX 8323 KachelY + 1 5510 0.05023787 0.88406064 2.878418 50.652944
    Unten rechts KachelX + 1 8324 KachelY + 1 5510 0.05062137 0.88406064 2.900391 50.652944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88430374-0.88406064) × R
    0.000243100000000052 × 6371000     		dl = 1548.79010000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88430374-0.88406064) × R
    0.000243100000000052 × 6371000     		dr = 1548.79010000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05023787-0.05062137) × cos(0.88430374) × R
    0.000383500000000002 × 0.633828193991419 × 6371000     		do = 1548.61879907307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05023787-0.05062137) × cos(0.88406064) × R
    0.000383500000000002 × 0.634016206757387 × 6371000     		du = 1549.07816662189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88430374)-sin(0.88406064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633828193991419-0.634016206757387)×R²
    abs(0.05062137-0.05023787)×0.000188012765968248×R²
    0.000383500000000002×0.000188012765968248×6371000²
    0.000383500000000002×0.000188012765968248×40589641000000     		ar = 2398841.20844866m²