Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8324 / 5516
↖ ↑ ↗
← N 50.569283°
E  2.900391°		 ← 1 551.79 m → N 50.569283°
E  2.922363°		 →
↑
1 552.04 m
↓
↑
1 552.04 m
↓
N 50.555325°
E  2.900391°		 ← 1 552.25 m →
2 408 803 m²		 N 50.555325°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508087158203125 y=0.336700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		tx = 8324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336700439453125 × 214)
    floor (0.336700439453125 × 16384)
    floor (5516.5)     		ty = 5516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8324 / 5516 ti = "14/8324/5516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8324/5516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5516 ÷ 214
    5516 ÷ 16384     		y = 0.336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336669921875 × 2 - 1) × π
    0.32666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02623314706616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02623314706616))-π/2
    2×atan(2.79053447912819)-π/2
    2×1.22669840657652-π/2
    2.45339681315303-1.57079632675     		φ = 0.88260049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88260049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.569283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8324 KachelY 5516 0.05062137 0.88260049 2.900391 50.569283
    Oben rechts KachelX + 1 8325 KachelY 5516 0.05100486 0.88260049 2.922363 50.569283
    Unten links KachelX 8324 KachelY + 1 5517 0.05062137 0.88235688 2.900391 50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 8325 KachelY + 1 5517 0.05100486 0.88235688 2.922363 50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88260049-0.88235688) × R
    0.00024360999999995 × 6371000     		dl = 1552.03930999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88260049-0.88235688) × R
    0.00024360999999995 × 6371000     		dr = 1552.03930999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.88260049) × R
    0.00038349 × 0.635144693328959 × 6371000     		do = 1551.79490853133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.88235688) × R
    0.00038349 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 1552.25458437607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88260049)-sin(0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635144693328959-0.63533283718214)×R²
    abs(0.05100486-0.05062137)×0.000188143853181444×R²
    0.00038349×0.000188143853181444×6371000²
    0.00038349×0.000188143853181444×40589641000000     		ar = 2408803.42850226m²